Estudo do plano cartesiano

O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:

As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, veja:

	1º quadrante = x > 0 e y > 0 2º quadrante = x < 0 e y > 0 3º quadrante = x < 0 e y < 0 4º quadrante = x > 0 e y < 0

 

Localizando pontos no Plano Cartesiano:


A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3

B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2

C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4

D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4

E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos.

Estudo da razão de secção

Dados os pontos A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) de uma mesma reta , o ponto C divide  numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:

                      em que , pois se , então A = B.

   Observe a representação a seguir:

   

 

Como o  , podemos escrever:         

Estudo do ponto médio

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta serão demonstrados com base na ilustração a seguir.

        Assim, 

             

Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:

Estudo do baricentro

O estudo da geometria analítica é fundamentado nos cálculos de coordenadas e distâncias entre pontos, tendo as suas respectivas especificidades. Por ora veremos um estudo relacionado ao baricentro de um triângulo.

O baricentro é determinado pelo encontro das medianas de um triângulo. Sem grandes necessidades de demonstração, podemos afirmar que as medianas de um triângulo sempre vão se intersectar em um único ponto, sendo este o baricentro. Assim como podemos ver no triângulo abaixo, onde M, N, P são pontos médios respectivamente dos segmentos BC, AB, AC.

Note que nessa construção geométrica, ao traçarmos os segmentos de reta das medianas, elas se intersectaram em um ponto G, sendo este ponto o baricentro do triângulo ABC.

Determinaremos um triângulo no plano cartesiano para analisarmos as coordenadas em relação ao ponto G (o baricentro).

Temos as seguintes coordenadas:

Para determinar as coordenadas do baricentro, relacionaremos as coordenadas dos três pontos desse triângulo. Essa relação é determinada da seguinte forma:

Dessa maneira, podemos escrever as coordenadas do baricentro utilizando apenas as coordenadas dos pontos do triângulo:

Tendo isso, podemos ter casos em que: se conhecermos as três coordenadas dos vértices do triângulo será possível encontrar o baricentro deste triângulo; ou ainda, se tivermos as coordenadas do baricentro e apenas dois vértices, podemos encontrar a coordenada desse terceiro vértice utilizando a relação das coordenadas de x e y do baricentro e seus vértices.

Estudo da distância entre dois pontos

Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a Álgebra e a Geometria, abrangendo situações em que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais. Um conceito básico de Geometria deve ser aproveitado na GA, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos: “por dois pontos passa apenas uma reta”. Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.

Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb, yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.

Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.

•          Cateto BC: yb – ya
  
•          Cateto AC: xb – xa
  
•          Hipotenusa AB: distância (D)

Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

Estudo da condição de alinhamento

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.

           

Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.