Estudo do baricentro

O estudo da geometria analítica é fundamentado nos cálculos de coordenadas e distâncias entre pontos, tendo as suas respectivas especificidades. Por ora veremos um estudo relacionado ao baricentro de um triângulo.

O baricentro é determinado pelo encontro das medianas de um triângulo. Sem grandes necessidades de demonstração, podemos afirmar que as medianas de um triângulo sempre vão se intersectar em um único ponto, sendo este o baricentro. Assim como podemos ver no triângulo abaixo, onde M, N, P são pontos médios respectivamente dos segmentos BC, AB, AC.

Note que nessa construção geométrica, ao traçarmos os segmentos de reta das medianas, elas se intersectaram em um ponto G, sendo este ponto o baricentro do triângulo ABC.

Determinaremos um triângulo no plano cartesiano para analisarmos as coordenadas em relação ao ponto G (o baricentro).

Temos as seguintes coordenadas:

Para determinar as coordenadas do baricentro, relacionaremos as coordenadas dos três pontos desse triângulo. Essa relação é determinada da seguinte forma:

Dessa maneira, podemos escrever as coordenadas do baricentro utilizando apenas as coordenadas dos pontos do triângulo:

Tendo isso, podemos ter casos em que: se conhecermos as três coordenadas dos vértices do triângulo será possível encontrar o baricentro deste triângulo; ou ainda, se tivermos as coordenadas do baricentro e apenas dois vértices, podemos encontrar a coordenada desse terceiro vértice utilizando a relação das coordenadas de x e y do baricentro e seus vértices.